December 31st, 2015

Греческие обозначения чисел: дроби

В предыдущих постах я описал, как греки обозначали целые числа и как входили в математическую практику дроби.

Долгое время греки не считали дроби числами, а воспринимали их как действия над целыми, как операции с частями целого числа. Четвертая (часть) -> 4-ая -> δων, третья (часть) -> 3-я -> γος: греки поступали в математических текстах точно так, как поступаем сейчас мы на письме, прибавляя к числу-основанию грамматический суффикс в надстрочном регистре. Для сокращения суффикс постепенно заменился штрихом или двойным штрихом: 1/4 = δ' или 1/3 = γ". Были и другие варианты надстрочных символов.

Две трети могли написать так: β γος или так: β γ'. Но это же выражение - β γ' - можно было прочитать и как 2 1/3! Понять значение можно было только из контекста, вникая в математический смысл текста.

По этой или по иной причине, примерно во втором веке до нашей эры пришли к греки знакомой нам записи дроби в виде числителя и знаменателя друг над другом. Правда, они располагали их обратным образом: знаменатель наверху, числитель внизу:
1 3/4 = α δγ.
Позже в обиход начало входить знакомое нам обозначение, называвшееся "индийским", числитель наверху, знаменатель внизу. Отсюда пошли наши обыкновенные дроби:
1 3/4 = α γδ.

Это было вполне удобное обозначение натуральных дробей. Но греки использовали и другие способы.

Александр Македонский завоевал Египет в 30-х годах IV в. до н.э. и основал в 332 году Александрию, ставшую новым центром эллинистической культуры. К этому времени египетская математика безнадежно отстала от греческой, но тесное взаимодействие традиций оказывало влияние. В частности, греки начали применять египетские дроби.

Египтяне использовали так называемые аликвотные дроби, или основные, или единичные - это дроби с числителем единица: 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Чтобы в счете получить иные дроби, необходимо суммировать несколько основных: 3/4 = 1/2 + 1/4, 8/15 = 1/3 + 1/5, 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301.

В арифметических расчетах египетские дроби крайне неудобны, хотя, конечно, математики придумали способы и приемы облегчить себе жизнь (Ван дер Варден даже считает, что это стало одним из ограничителей развития египетской математики; мне, однако, представляется, что если бы необходимость в том была, были бы проведены соответствующие нормативные реформы), но в качестве константных значений египетские дроби можно было использовать. Так, в звездном каталоге "Альмагеста" (137 г.) Птолемей применил египетские дроби и ничего не боялся; по всей видимости, египетские дроби были и в каталоге Гиппарха (139 г. до н.э.).

Греки взяли идею аликвотных дробей у египтян, но использовали, конечно, свои родные буквенные обозначения. Основная дробь обозначалась штрихом:
1/2 -> β'
1/3 -> γ'
1/4 -> δ' и т.д.

Сумма основных дробей, формировавшая произвольную дробь, выглядела так:
3/4 = 1/2 + 1/4 -> β' δ' (или так: β' δx)
8/15 = 1/3 + 1/5 -> γ' ε'
2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 -> μβ' πς' ρκθ'.

Наконец, целая с дробью представлялась греками следующим образом:
1 3/4 = 1 + 1/2 + 1/4 -> α β' δ'.

Для двух часто употребимых дробей у греков были специальные обозначения:
1/2 -> 1-2L.png, L' (происхождение неясно) или Ϲ' / Ͻ' (это просто половинки беотийского обозначения единицы ○, в свою очередь, образовавшегося от слова "обол" -- Томас Хит)
3/4 -> Именно этот крючочек заинтересовал меня при изучении "Альмагеста" и побудил изучить вопрос греческих обозначений чисел подробнее, но происхождение его так и осталось не ясно. Возможно, это лигатура Γβ, восходящая к обыкновенным дробям в "индийском" написании, но я не нашел этому подтверждения.

Египтяне иногда употребляли специальный иероглиф для 3/4, но подобное греческое употребление мне не встречалось.

Птолемей подтверждал, что использовать в расчетах греческие дроби неудобно. Для расчетов они и не использовались, у греков было мощное продвинутое средство: шестидесятеричные дроби.

Шестидесятеричная система счисления была придумана шумерами еще в III тысячелетии до нашей эры и унаследована вавилонянами. Не буду отвлекаться на её ближневосточную историю, а перейду сразу к грекам: греки, я полагаю, познакомились с этой системой примерно в VII веке до н.э., с налаживаем культурных контактов со Междуречьем. Однако, применяли они её только в приложении к дробям.

Вавилонская система эквивалентна наше десятеричной системе, только в её основании лежит на десять, а шестьдесят. Шестидесятеричные дроби вполне ясны, это дроби с основанием 60: 1/60, 1/602 = 1/3600, 1/603 = 1/216000 и т.д. Понятно и их использование, вот корень из трех (это конкретный пример из Птолемея):
√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 -> α μγ' ηε" κγ‴ .

Обратите внимание на два факта.

Во-первых, оперировать с шестидесятеричными дробями было исключительно просто, не сложнее, чем с десятичными. Птолемей по словам Ван вар Вардена, обходится с ними "виртуозно", нигде, правда, не описывая конкретную технику. Однако античные комментаторы подробно объясняют эти приемы.

Во-вторых, большое основание вавилонских дробей позволяет компактно записывать дробные числа, так, приведенное значение корня из трех, включающее три дроби, верно до седьмого знака после запятой в современной десятичной записи.

Кстати, о запятых.

Историки математики воспроизводят вавилонские дроби, отделяя целую часть точкой с запятой и шестидесятеричные дроби запятыми:
√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 = 1; 43, 55, 23.

Ну и наконец, заметьте: вавилонские дроби в греческой записи точно эквивалентны современному обозначению углов, географических координат и времени! Вот, например, координаты Москвы (широта и долгота) в современном и древнегреческом обозначении:
55° 45' 21" -> νε με' κα",
37° 37' 04" -> λζ λζ' δ".

Резюме.
Для обозначения дробей греки использовали три способа:
- обыкновенные дроби они обозначали, помещая числитель под знаменателем
- египетские аликвотные дроби, отмечая их штрихом, обычно для константных величин
- вавилонские шестидесятеричные дроби, отмечая их штрихами соответственно разряду, для вычислений.